Question

1.设二次方程x^2+ax+b=0,x^2+bx+c=0,x^2+cx+a=0的所有解均为整数,求正整数a,b,c.

Answer 1

x^2+ax+b=0所有解均为整数,要求△≧0,△是完全平方数,a^2-4b是完全平方数,设a^2-4b=m^2(m为正整数)

（a+m）(a-m)=4b

a+m,a-m奇偶性相同,a+m>a-m,

b为正整数,2b≧2

（a+m）(a-m)=4b=2b*2=b*4=4*b

1)x05a+m=2b,a-m=2时,a=b+1

2)x05a+m=b或4,a-m=4或b(b为偶数)时,a=b/2+2

同理：b=c+1,b=c/2+2（c为偶数）

C=a+1,c=a/2+2（a为偶数）

当a=b+1,b=c+1,C=a+1时,矛盾不成立

当a=b/2+2,b=c/2+2,c=a/2+2时,a=b=c=4

故正整数a,b,c的值均为4.