Question

定义在D上的函数，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M

Answer 1

解题思路：（1）当a=1时，f（x）=1+（[1/2]）^x+（[1/4]）^x，f（x）在（-∞，0）的值域为（3，+∞），函数f（x）在（-∞，0）上不是有界函数．

（2）f（x）=1+a•（[1/2]）^x+（[1/4]）^x=[（[1/2]）^x+[a/2]]²+1-

a

2

4

≥1-

a

2

4

，由f（x）＞0，得a＞2或a＜-2．由a∈[-[5/2]，-2]时，f（x）＞0恒成立，得当a=-2时，f（x）=[（[1/2]）^x-1]²＞0，由此能求出x的取值范围．

（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，设t=（[1/2]）^x，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+at+t²≤3，-（t+[4/t]）≤a≤[2/t]-t在（0，1]上恒成立，由此利用构造法能求出实数a的取值范围．

（1）当a=1时，f（x）=1+（[1/2]）^x+（[1/4]）^x，

因为f（x）在（-∞，0）上递减，

所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域为（3，+∞），

故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立．

所以函数f（x）在（-∞，0）上不是有界函数．

（2）∵f（x）=1+a•（[1/2]）^x+（[1/4]）^x

=[（[1/2]）^x+[a/2]]²+1-

a2

4≥1-

a2

4，

∴由f（x）＞0，得1-

a2

4＞0，

解得a＞2或a＜-2．

∵a∈[-[5/2]，-2]时，f（x）＞0恒成立，

∴当a=-2时，

f（x）=[（[1/2]）^x-1]²＞0，

∴x≠0．

∴a∈[-[5/2]，-2]时，f（x）＞0恒成立，x的取值范围是（-∞，0）∪（0，+∞）．

（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，

设t=（[1/2]）^x，t∈（0，1]，

由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+at+t²≤3，

∴-（t+[4/t]）≤a≤[2/t]-t在（0，1]上恒成立，

设h（t）=-t-[4/t]，m（t）=[2/t]-t，

则h（t）在（0，1]上递增；m（t）在（0，1]上递减，

所以h（t）在（0，1]上的最大值为h（1）=-5；

m（t）在（0，1]上的最小值为m（1）=1，

所以实数a的取值范围为[-5，1]．

点评：

本题考点： 函数与方程的综合运用．

考点点评： 本题主要考查情境题的解法，在解决中要通过给出的条件转化为已有的知识和方法去解决，本题主要体现了定义法，恒成立和最值等问题，综合性强，要求学生在学习中要有恒心和毅力．