方法一：
过A作AD⊥BC交直线BC于D.
∵∠B＝45°、∠ADB＝90°、c＝AB＝1,∴∠BAD＝45°、AD＝BD＝√2/2.
∵∠ADC＝90°、b＝AC＝√2、AD＝√2/2,∴AD＝AC/2,∴∠ACD＝30°,∠CAD＝60°,
∴CD＝√6/2.
于是：
一、当D落在线段BC上时,∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝45°＋60°＝105°.
BC＝BD＋CD＝√2/2＋√6/2＝（√2＋√6）/2.
∴此时,a＝（√2＋√6）/2、A＝105°、C＝30°.
二、当D落在BC的延长线上时,∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝45°－60°.
这自然是不合理的,应舍去.
综上所述,得：a＝（√2＋√6）/2、A＝105°、C＝30°.
方法二：
由正弦定理,有：c/sinC＝b/sinB＝√2/sin45°＝√2/（√2/2）＝2,∴sinC＝c/2＝1/2,
∴C＝30°,或C＝180°－30°＝150°.
很明显,当C＝150°时,B＋C＝45°＋150°＞180°.这是不合理的,应舍去.
∴只有C＝30°,∴A＝180°－B－C＝180°－45°－30°＝105°.
再由正弦定理,有：a/sinA＝c/sinC＝1/sin30°＝2,
∴a＝2sinA＝2sin105°＝2sin（60°＋45°）＝2（sin60°cos45°＋cos60°sin45°）
＝2［（√3/2）×（√2/2）＋（1/2）×（√2/2）］＝（√2＋√6）/2.
于是：a＝a＝（√2＋√6）/2、A＝105°、C＝30°.