一、选择题
1. D 2. A 3. B 4. A 5. C 6. D
二、填空题
1. (x^2+y^2)/4-z^2/9=1
2. 1/2
3. 2
4. 2
三、计算题
1. 易知,|OA|=√10,|OB|=√10,|AB|=√2
∴△OAB是以AB为底的等腰三角形,设AB上的高为h
则有 h^2+(√2/2)^2=(√10)^2,解得 h=√(19/2)
∴△OAB面积为S=1/2*AB*h=1/2*√2*√(19/2)=1/2*√19
2. z=uv, u=x+y, v=x-y
dz/dx=v*du/dx+u*dv/dx=v+u=2x
dz/dy=v*du/dy+u*dv/dy=v-u=-2y
d^2z/dydx=d(dz/dy)/dx=0
四、计算题
1. 积分区域D：0≤x≤1, 0≤y≤1-x
∴∫∫xydxdy=∫xdx∫ydy=∫x[y^2/2]dx
=1/2∫x*(1-x)^2dx=1/2∫(x-2x^2+x^3)dx
=1/2*[(x^2/2-2x^3/3+x^4/4)]
=1/2*(1/2-2/3+1/4)=1/2*1/12=1/24
2. 二元函数取得极值时,各变量偏导数均为0
f(x,y)=e^y*(x^2+2x+y),
f'x(x,y)=e^y*(2x+2)=0
f'y(x,y)=e^y*(x^2+2x+y)+e^y*1=e^y*(x^2+2x+y+1)=0
解得 x=-1, y=0
f(-1,0)=e^0*(1-2+0)=-1
∴函数极值点为(-1,0), 极值为-1
3. e^z-xyz=0 => e^z=xyz => z=ln(xyz)=lnu
dz=du/u=(yzdx+xzdy+xydz)/(xyz)
xy(z-1)dz=(yzdx+xzdy)
dz=(yzdx+xzdy)/[xy(z-1)]
4. 设x=rcosθ,y=rsinθ,x^2+y^2=r^2
极坐标积分区域为：0≤r≤1, 0≤θ≤π/4
∫∫√(x^2+y^2)dxdy=∫∫r*rdrdθ=∫dθ∫r^2dr
=π/4*[(r^3/3)]=π/4*1/3=π/12
5. 设∑(x+2)^n/n=∑an*(x+2)^n
lim|an/a(n+1)|=lim|(n+1)/n|=1 (n->+∞)
∴级数收敛半径为R=1
当x=-1时,级数显然收敛
当x=-3时,级数为交错级数,此时也收敛
∴级数收敛区间为[-3,-1]
6. 设∑(-1)^(n-1)/√(3n)=∑an
lim|an/a(n+1)|=lim|(-1)*√[(n+1)/n]|=1 (n->+∞)
∴级数∑an收敛
又∑|(-1)^(n-1)/√(3n)|=∑|an|
lim||an|/|a(n+1)||=lim|√[(n+1)/n]|=1 (n->+∞)
∴级数∑|an|也收敛
级数∑an与∑|an|都收敛,∴级数∑an绝对收敛