Question

函数f（x）=[1/2]（ax+a-x）（a＞0，且a≠1）的图象经过点（2，[41/9]）．

Answer 1

解题思路：（1）应用代入法，求出a，从而得出函数f（x）的解析式；

（2）运用函数单调性定义证明：分设值、作差、变形、定符号、下结论几步．

（1）∵f（x）图象过点（2，[41/9]），

∴f（2）=[41/9]，即[1/2(a2+a−2)＝

41

9]，

∴a²=9或a²=[1/9]，

∵a＞0且a≠1，

∴a=3或a=[1/3]，

∴f（x）的解析式为：f（x）=[1/2(3x+3−x)；

（2）证明：设0≤x₁＜x₂，则

f（x₁）-f（x₂）=

1

2(3x1+3−x1)−

1

2(3x2+3−x2)

=

1

2[(3x1−3x2)+

3x2−3x1

3x1•3x2]

=

1

2(3x1−3x2)•

3x1+x2−1

3x1+x2]，

∵x₁＜x₂，

∴3x1＜3x2即3x1−3x2＜0，

∵0≤x₁＜x₂，

∴3x1+x2＞1，即3x1+x2−1＞0，

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性的证明，解题时必须严格按照五个步骤加以证明，特别注意三、四两个步骤．本题是一道基础题．