Question

设数列{an}的前n项和Sn=1/3（4an-2的n-1次方+2）,证明数列{an+2的n次方}是等比数列

Answer 1

证明：n=1时,a1=S1=[4a1-2^(1-1)+2]/3=(4a1+1)/3

3a1=4a1+1,a1=-1

n=2时,a1+a2=S2=[4a2-2^（2-1）+2]/3

-3+3a2=4a2-2+2,a2=-3

(4a2+2^2)/(4a1+2^1)=(-12+4)/(-4+2)=4

当n>=2时

Sn=[4an-2^(n-1)+2]/3

Sn-1=[4a(n-1)-2^(n-2)+2]/3

两式相减得,an=Sn-Sn-1=[4an-2^(n-1)+2-4a(n-1)+2^(n-2)-2]/3

整理,得an+2^(n-2)=4a(n-1)+2^(n-1)

4an+2^n=4[4a(n-1)+2^(n-1)]

有(4an+2^n)/[4a(n-1)+2^(n-1)]=4为定值

所以数列{4an+2^n}是以-2为首项,4为公比的等比数列.