Question

如图,三角形ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P,若∠PBC=40°,则∠CAP=___

Answer 1

∠PCD=∠PBC+∠BPC=∠PBC+40°；(1)

PB平分∠ABC,得∠PBC=∠ABC/2;

PC平分∠ACD,得∠PCD=∠ACD/2; 代入（1）得

∠ACD-∠ABC=80°；

在△ABC中,∠BAC=∠ACD-∠ABC=80°; (∠ACD是外角);（2）

过P点作BC、AC、BA的垂线分别交于D、E、F；

由PB平分∠ABC,得PD=PF；

由PC平分∠ACD,得PE=PD；

推得PE=PF,所以PA平分∠CAE；（点到角两边的距离相等,则它与角顶点的连线是角平分线）

即∠CAP=∠CAE/2; (3)

又∠CAE是△ABC的外角,有∠CAE=180-∠BAC；代入（2）得

∠CAE=100°,代入（3)得：

∠CAP=50°