Question

在数列｛an｝（n为写在a右下角的小n,1等同理）中,a1=1,a n+1=2an+2^n

Answer 1

(1)∵a[n+1]=2a[n]+2^n,n∈N+

∴两边同除以2^n,得：

a[n+1]/2^n-a[n]/2^(n-1)=1

∵a[1]=1

bn=an/2^(n-1)

故b(n+1)-bn=1

∴{bn}是首项为a[1]/2^0=1,公差也为1的等差数列

即：a[n]/2^(n-1)=1+(n-1)=n

∴数列{an}的通项公式是：a[n]=n2^(n-1)

(2)∵S[n]=1*2^0+2*2^1+3*2^2+...+n2^(n-1)

∴2S[n]=1*2^1+2*2^2+3*2^3+...+n2^(n)

将上面两式相减,得：

-S[n]=[2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^(n-1)]-n2^n

=1*(2^n-1)/(2-1)-n2^n

=2^n-1-n2^n

=(1-n)*2^n-1

∴数列{a[n]}的前n项和S[n]=(1-n)2^n-1