Question

设数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，已知Sn＝n2+3n2，bn＝12×32−an．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）已知s_n的递推关系式，根据a_n=s_n-s_n-1即可求出数列{a_n}的通项公式，

（Ⅱ）把a_n的表达式代入b_n中，证明数列{b_n}是等比数列，根据等比数列的求和公式求出T_n，然后证明当n＞M时，S_n＞Tn恒成立，解答是不是存在M值．

（I）当n=1时，a₁=S₁=2

当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n+1，

综上，数列{a_n}的通项公式是a_n=n+1（n∈N*）

（II）bn＝12×32−(n+1)＝36×

1

3n，

b1＝12，

bn+1

bn＝

1

3，∴数列{bn}是以12为首项，

1

3为公比的等比数列．

∴Tn＝

12[1−(

1

3)n]

1−

1

3＝18(1−

1

3n).

由此可知12≤T_n＜18．

而{S_n}是一个递增数列，

且S₁=2，T₁=12，S₂=5，T₂=16，S₃=9，T₃=17[2/3]，S₄=14，T₄=17

80

81，S5＝20.

故存在一个最小正整数M=4，当n＞M时，S_n＞T_n恒成立．

点评：

本题考点： 数列的求和；函数恒成立问题；数列的概念及简单表示法．

考点点评： 本题主要考查数列求和的知识点，解答本题的关键是根据an=sn-sn-1即可求出数列{an}的通项公式，还要熟练掌握等比数列的求和公式，数列是高考的常考题，需要同学们熟练掌握．