解题思路：（1）由题设知
1
a
n+1
2
＝
1
a
n
2
+4
，由此能得到
1
a
n
2
＝4n−3
，从而能求出数列{an}的通项公式．
（2）由
1
a
n
2
＝4n−3
，知
b
n
＝
a
n
2
(3n−1)
a
n
2
+n
=[1/2]（[1/2n−1−
1
2n+1]），由此利用裂项求和法能求出Sn=[n/2n+1]，由Sn＞a对∀n∈N+恒成立，能求出实数a的取值范围．
（1）∵函数f（x）=
1
x2+4（x≠0），
各项均为正数的数列{an}中a1=1，
1
an+12=f（an）（n∈N+），
∴
1
an+12＝
1
an2+4，即
1
an+12−
1
an2＝4，
∴{
1
an2}是以1为首项4为公差的等差数列．
∴
1
an2＝4n−3，
∴an＝
1
4n−3．…（6分）
（2）∵
1
an2＝4n−3，
∴bn＝
an2
(3n−1)an2+n
=
1
(3n−1)+
n
an2
=
1
(3n−1)+n(4n−3)
=
1/2]（[1/2n−1−
1
2n+1]），
∴
点评：
本题考点： 数列递推式；数列的函数特性；数列的应用．
考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法及其应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．
1年前
2
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