Question

已知函数f（x）=4x+m•2x+1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．

Answer 1

解题思路：方程（2^x）²+m•2^x+1=0仅有一个实根，设2^x=t（t＞0），则t²+mt+1=0有且只有一个正实数根，考虑应用判别式，

分判别式大于0和等于0两种情况．

∵f（x）=4^x+m•2^x+1有且仅有一个零点，即方程（2^x）²+m•2^x+1=0仅有一个实根．

设2^x=t（t＞0），则t²+mt+1=0．

当△=0，即m²-4=0，∴m=-2时，t=1．当m=2时，t=-1不合题意，舍去．

∴2^x=1，x=0符合题意．

当△＞0，即m＞2或m＜-2时，

关于t的方程t²+mt+1=0应有一正一负根，即t₁t₂＜0，这与t₁t₂＞0矛盾，∴这种情况不可能．

综上可知：m=-2时，ƒ（x）有唯一零点，该零点为x=0．

点评：

本题考点： 函数的零点．

考点点评： 本题考查函数的零点与对应的方程的跟的关系，就是对应方程的根，属于基础题．