Question

如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，AB2=AP•AD．

Answer 1

解题思路：（1）根据AB²=AP•AD，可以连接BP，构造相似三角形．根据相似三角形的性质得到∠APB=∠ABD，再根据圆周角定理得到∠APB=∠ACB，即∠ABC=∠ACB，再根据等角对等边证明结论；

（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，发现等边三角形ABC，再根据点P为弧的中点，连接BP，发现30°的直角三角形，且BP是直径，从而求得AP的长，AB的长．再根据已知中的条件求得AD的长．

（1）证明：连接BP，

∵AB²=AP•AD，∴[AB/AP＝

AD

AB]，

又∵∠BAD=∠PAB，

∴△ABD∽△APB，

∵∠ABC=∠APB，∠APB=∠ACB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（2）由（1）知AB=AC，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∵P为

AC的中点，

∴∠ABP=∠PAC=[1/2]∠ABC=30°，

∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°，

∴BP为直径，

∴BP过圆心O，

∴BP=2，

∴AP=[1/2]BP=1，

∴AB²=BP²-AP²=3，

∵AB²=AP•AD，

∴AD=

AB2

AP=3．

点评：

本题考点： 圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 掌握相似三角形的性质和判定，能够结合已知条件发现等边三角形和30°的直角三角形，根据它们的性质分析求解，属中等难度．