Question

已知动点P与双曲线x2-y2=1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为−13，则动点P的轨

Answer 1

解题思路：根据椭圆定义可知，所求动点P的轨迹为以F₁，F₂为焦点的椭圆，再结合余弦定理、基本不等式，即可求出椭圆中的a，b的值．

（1）∵x²-y²=1，∴c=

2．设|PF₁|+|PF₂|=2a（常数a＞0），2a＞2c=2

2，∴a＞

2

由余弦定理有cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|2

2|PF1||PF2|=

2a2−4

|PF1||PF2|-1

∵|PF₁||PF₂|≤（

|PF1|+|PF2|

2）²=a²，

∴当且仅当|PF₁|=|PF₂|时，|PF₁||PF₂|取得最大值a²．

此时cos∠F₁PF₂取得最小值为

2a2−4

a2-1，

由题意

2a2−4

a2-1=-[1/3]，解得a²=3，

∴b²=a²-c²=3-2=1

∴P点的轨迹方程为

x2

3+y2＝1．

故答案为：

x2

3+y2＝1

点评：

本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查了求轨迹方程，考查余弦定理、基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．