Question

已知椭圆x29+y25=1上任意一点P，A1，A2是椭圆的左、右顶点，设直线PA1，PA2斜率分别为k PA1

Answer 1

解题思路：（1）先求出椭圆x29+y25=1的左、右顶点分别为A1，A2，设P（x0，y0），再求出直线PA1的斜率为k PA1，直线PA2的斜率为k PA2，由此列出k PA1•k PA2的式子，根据等价转化思想求出k1•k2的值即可；（2）类比上述求解方法，在双曲线x2a2-y2b2=1上，设直线PA1，PA2斜率分别为k PA1，k PA2，则k PA1•k PA2=-−b2a2=b2a2，据此解答即可．

（1）椭圆

x2

9+

y2

5=1的左、右顶点分别为A₁，（-3，0），A₂，（3，0），

设P（x₀，y₀），

则k PA1•k PA2=

y0

x0+3•

y0

x0−3=

y02

x02−9，

∵P（x₀，y₀）在椭圆上，

∴

x02

9+

y02

5=1

∴y02=[5/9]（9-x02）

∴k PA1•k PA2=

y0

x0+3•

y0

x0−3=

y02

x02−9=

5

9•

9−x02

x02−9=−

5

9

（2）类比上述求解方法，在双曲线

x2

a2-

y2

b2=1上，

设直线PA₁，PA₂斜率分别为k PA1，k PA2，

则k PA1•k PA2=-

−b2

a2=

b2

a2．

故答案为：-[5/9]、

b2

a2．

点评：

本题考点： 类比推理．

考点点评： 本题主要考查了类比推理的思想和方法，考查运算求解能力，解题时要注意椭圆性质的灵活运用．