Question

设连续型随机变量X1，X2相互独立，且方差均存在，X1，X2的概率密度分别为f1（x），f2（x），随机变量Y1的概率密

Answer 1

解题思路：根据数学期望的定义，求出EY₁和EY₂，根据求出来的EY₁和EY₂，再用方差的定义求出DY₁和DY₂，比较两者即可．

因为：fY1(y)＝

1

2(f1(y)+f2(y))，且EX1＝

∫+∞−∞xf1(x)dx，EX2＝

∫+∞−∞xf2(x)dx，

所以：

EY1＝

1

2

∫+∞−∞y(f1(y)+f2(y))dy＝

1

2(EX1+EX2)＝E(Y2)，

E

Y21＝

1

2

∫+∞−∞y2(f1(y)+f2(y))dy＝

1

2E

X21+

1

2E

X22，

于是：

DY1＝E(

Y21)−E2(Y1)＝

1

2E

X21+

1

2E

X22−

1

4E2(X1)−

1

4E2(X2)−

1

2E(X1)E(X2)

＝

1

4D(X1)+

1

4D(X2)+

1

4E(X1−X2)2≥

1

4D(X1)+

1

4D(X2)＝DY2

设Y=X₁-X₂的概率密度为f（y），则：

E(X1−X2)2＝

∫+∞−∞y2f(y)dy，其中y²f（y）≥0且y²f（y）不恒为0，

由定积分的性质，知：E(X1−X2)2＞0，

从而：DY₁＞DY₂，

故选：D．

点评：

本题考点： 连续型随机变量的数学期望；方差的计算公式．

考点点评： 此题考查连续型随机变量数学期望和方差的定义，这是概率中基础的知识点．