求【-1 3 -3; -3 5 -3; -6 6 -4】这个3*3的矩阵的特征值和特征向量

1个回答

  • 设矩阵的特征值为λ,

    则行列式|A-λE|=

    -1-λ 3 -3 =0

    -3 5-λ -3

    -6 6 -4-λ 第2行减去第1行

    =

    -1-λ 3 -3

    -2+λ 2-λ 0

    -6 6 -4-λ 第1列加上第2列

    =

    2-λ 3 -3

    0 2-λ 0

    0 6 -4-λ 按第1列展开得到

    =(2-λ)(2-λ)(-4-λ)=0

    所以矩阵的特征值为λ1=λ2=2,λ3= -4

    当λ=2时,

    A-2E= -3 3 -3

    -3 3 -3

    -6 6 -6 第2行减去第1行,第3行减去第1行×2,第1行除以-3

    1 -1 1

    0 0 0

    0 0 0

    所以得到λ=2有两个特征向量

    (1,1,0)T和(1,0,-1)T

    当λ= -4时,

    A+4E= 3 3 -3

    -3 9 -3

    -6 6 0 第2行加上第1行,第3行加上第1行乘以2,第1行除以3

    1 1 -1

    0 12 -6

    0 12 -6 第3行减去第2行,第2行除以6

    1 1 -1

    0 2 -1

    0 0 0 第1行减去第2行

    1 -1 0

    0 2 -1

    0 0 0

    所以得到λ= -4时特征向量(1,1,2)T

    故综上所得,

    此矩阵的特征值为2,2,-4

    特征向量分别为:(1,1,0)T 、(1,0,-1)T 、(1,1,2)T