我来回答 （1）∵ 抛物线y = x2－2x + m－1与x轴只有一个交点,∴ △=（－2）2－4×1×（m－1）= 0,解得 m = 2．
（2）由（1）知抛物线的解析式为 y = x2－2x + 1,易得顶点B（1,0）,当 x = 0时,y = 1,得A（0,1）．
由 1 = x2－2x + 1 解得 x = 0（舍）,或 x = 2,所以C（2,1）．
过C作x轴的垂线,垂足为D,则 CD = 1,BD = xD－xB = 1．
∴ 在Rt△CDB中,∠CBD = 45°,BC = ．
同理,在Rt△AOB中,AO = OB = 1,于是 ∠ABO = 45°,AB = ．
∴ ∠ABC = 180°－∠CBD－∠ABO = 90°,AB = BC,因此△ABC是等腰直角三角形．
（3）由题知,抛物线C′ 的解析式为y = x2－2x －3,当 x = 0时,y =－3；当y = 0时,x =－1,或x = 3,
∴ E（－1,0）,F（0,－3）,即 OE = 1,OF = 3．
① 若以E点为直角顶点,设此时满足条件的点为P1（x1,y1）,作P1M⊥x轴于M．
∵ ∠P1EM +∠OEF =∠EFO +∠OEF = 90°,
∴ ∠P1EM =∠EFO,得 Rt△EFO∽Rt△P1EM,于是 ,即EM = 3 P1M．
∵ EM = x1 + 1,P1M = y1,∴ x1 + 1 = 3 y1． （*）
由于P1（x1,y1）在抛物线C′ 上,有 3（x12－2x1－3）= x1 + 1,
整理得 3x12－7x1－10 = 0,解得 x1 =－1（舍）,或 ．
把 代人（*）中可解得 ． ∴ P1（ ,）．
② 若以F点为直角顶点,设此时满足条件的点为P2（x2,y2）,作P2N⊥与y轴于N．
同①,易知 Rt△EFO∽Rt△FP2N,得 ,即P2N = 3 FN．
∵ P2N = x2,FN = 3 + y2,∴ x2 = 3（3 + y2）． （**）
由于P2（x2,y2）在抛物线C′ 上,有 x2 = 3（3 + x22－2x2－3）,
整理得 3x22－7x2 = 0,解得 x2 = 0（舍）,或 ．
把 代人（**）中可解得 ． ∴ P2（ ,）．
综上所述,满足条件的P点的坐标为（ ,）或（ ,）．