Question

定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0，

Answer 1

（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；

令x=y=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1），∴f（-1）=0；

（2）f（x）是偶函数，证明如下

令y=-1，∵f（xy）=f（x）+f（y），∴f（-x）=f（x）+f（-1），

∵f（-1）=0，∴f（-x）=f（x），∵f（x）不恒为0，∴f（x）是偶函数；

（3）∵f（x+1）-f（2-x）≤0，∴f（x+1）≤f（2-x）

∵f（x）是偶函数，∴f（|x+1|）≤f（|2-x|）

∵x＞0时，f（x）为增函数，

∴|x+1|≤|2-x|

∴ x≤

1

2

∴满足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x取值集合为{x| x≤

1

2 }．