为免于混淆,记数列的通项的形式每一项为 a(n) ,其中(n)为下标.
1
由题目所给 a(n) = 3/2- [a(n-1)]/2 得到
a(n)-1 = (-1/2)*( a(n-1) -1 ) 于是记 a(n)-1=c(n)
则上式等价于c(n) = (1/2)*c(n-1)显然为公比为(-1/2)的等比数列,而c(1)=a(1)-1=(-1/2),从而求得{c(n)}的通项：
c(n)=(-1/2)*(-1/2)^(n-1)=(-1/2)^n.
即a(n)-1=(-1/2)^n.
所以：【a(n)=1+(-1/2)^n】
2
首先由a(n)的通项可知a(n)>0恒成立；
再由 a(n) = 3/2- [a(n-1)]/2 即2*a(n)=3-a(n-1)
于是知道3-2*a(n)=a(n-1)
所以实际上有：【b(n)=a(n)*√(a(n-1))】
由于a(n)恒正,所以b(n)恒正.只需讨论[b(n)]^2=[a(n)]^2*[a(n-1)]即可.
b(n)^2 - b(n+1)^2 = a(n)^2*a(n-1) - a(n+1)^2 * a(n)
=a(n)[a(n)*a(n-1)-a(n+1)^2]
=a(n) { [1+(-1/2)^n][1+(-1/2)^(n-1)] - [1+(-1/2)^(n+1)]^2 }
=a(n){1+(-1/2)^(n-1)+(-1/2)^n +(-1/2)^(2n-1) -[1+2*(-1/2)^(n+1)+(-1/2)^2(n+1)]}
=a(n){1-(-1/2)^n +(-1/2)^(2n-1) - [1- (-1/2)^n+(-1/2)^2(n+1)]}
=a(n)[(-1/2)^(2n-1) - (-1/2)^(2n+2)]
=a(n)*(-1/2)^(2n-1)[1-(-1/2)^3]
=a(n)(9/8)*[(-1/2)^(2n-1)]
由于(2n-1)是个奇数因而[(-1/2)^(2n-1)]这一项一定为负数,而其他项均为正,所以此式为负数小于0.
即b(n)^2 - b(n+1)^2