Question

设R[x]是所有次数小于n的实系数多项式组成的线性空间,

Answer 1

p(x)= 1+(2x)^(n-1) , x=1时,p(1)= 1+2^(n-1)

dp/dx = 2(n-1)(2x)^(n-2), 其在x=1处的值为dp/dx |x=1 = (n-1) 2^(n-1)

dp^k/(dx)^k = 2^k (n-1)!/(n-k-1)! (2x)^(n-1-k) ,其在x=1处的值为(n-1)!/(n-k-1)!2^(n-1)

根据taylor公式,该函数可以展开为

p(x)= 1+2^(n-1) + sum[(x-1)^k (n-1)!/(n-k-1)!2^(n-1) / k! , k=1,2,...,n-1]

所以各项系数为(n-1)!/(n-k-1)!2^(n-1) / k! = C(n-1, k) 2^(n-1)