Question

（2013•竹溪县模拟）已知抛物线C1：y=x2-2mx+n（m，n为常数，且m≠0，n＜0）的顶点为A，与y轴交于点C

Answer 1

（1）∵抛物线C₁、C₂关于y轴对称，抛物线C₁：y=x²-2mx+n，

∴抛物线C₂的解析式为：y=（-x）²-2m（-x）+n，即y=x²+2mx+n；

（2）当m=1时，△ABC为等腰直角三角形．理由如下：

如图，设AB与y轴交于点D．

∵抛物线C₁、C₂关于y轴对称，

∴顶点A与顶点B关于y轴对称，

又∵点C、D都在y轴上，

∴AC=BC，CD⊥AB，∠BCD=∠ACD．

当m=1时，∵抛物线C₁：y=x²-2x+n=（x-1）²+n-1，

∴顶点A的坐标为A（1，n-1），

∴D点坐标为（0，n-1），AD=1．

又∵点C的坐标为（0，n），

∴CD=n-（n-1）=1，

∴AD=CD，

∴∠ACD=45°，

∴∠BCD=∠ACD=45°，

∴∠ACB=90°，

∴△ABC为等腰直角三角形；

（3）∵抛物线C₁：y=x²-2mx+n=（x-m）²+n-m²，

∴顶点A的坐标为A（m，n-m²），

∴D点坐标为（0，n-m²），AD=|m|．

又∵点C的坐标为（0，n），

∴CD=n-（n-m²）=m²．

当△ABC为等边三角形时，∠CAD=60°．

在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，

∴tan∠CAD=[CD/AD]=

m2

|m|=|m|，

∴|m|=

3，

∴m=±

3．