Question

抛物线y^2=4x的准线与x轴交于M点,过M做直线与抛物线交与A.B两点,若AB的垂直平分线与x轴交与D(x0,0).则

Answer 1

(1)由已知,M的坐标为（-1,0）,

设AB:x=ky-1代入y^2=4x得y^2-4ky+4=0

由判别式大于0得k^2>1.

设A(x1,y1),B(x2,y2)则

y1+y2=4k,x1+x2=4k^2-2,y1y2=4

AB的中点为(2k^2-1,2k)

AB的中垂线方程为y-2k=-k(x-2k^2+1)

x0=2k^2+1≥3

x0的取值范围是[3,+∞)

(2)由（1）得|AB|^2=(1+k^2)(16k^2-16)=16(k^4-1)

点E到AB的距离为(2k^2+2)/√(1+k^2)=2√(1+k^2),

所以(3/4)[ 16(k^4-1)]= 4(1+k^2),k^2=4/3

x0=11/3

所以 ΔABE能是等边三角形,此时x0=11/3