The idea being that 是英语里一个固定用法,用来解释做某事的动机或目的,通常作状语用.偶尔这个短语也被当成整句用在一个没有谓语的结构里,应该算作误用,但是用得多了也就约定俗成了.语法严格的文章里,这个短语是由with打头的,是with the idea being that.也就是说,其它用法其实是省略了with.
所以the idea...sisterhood部分是由with打头的,省略了with的状语短语,用来说明主句的目的.the idea是with的宾语.being that...部分是分词短语作定语修饰the idea.其实严格地讲being根本不需要.that是连词引导一个同位语从句说明idea的内容是什么.
complex是名词,意思是组合.apartment complex就是一个单元楼,通常指两三层那种的.
全句的翻译是：
兄弟会和姐妹会也向他们的成员提供学校宿舍,想法是住在同一个大房子或单元楼里会增进师兄弟师姐妹之间的感情.