Question

已知方程x2+px+q=0有两个不相等的整数根，p，q是自然数，且是质数，这个方程的根是______．

Answer 1

解题思路：首先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．再利用已知条件p，q是自然数，且是质数，分q是奇数与偶数讨论x₁、x₂的取值情况，最终得到方程的根．

设两根为x₁，x₂．则

x₁+x₂=-p ①

x₁x₂=q ②

由题设及①，②可知，x₁，x₂均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x₁，x₂均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．

若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．

∴方程的根是-1和-2．

故答案为：-1和-2．

点评：

本题考点： 一元二次方程的整数根与有理根；根的判别式；根与系数的关系．

考点点评： 本题考查一元二次方程根与系数的关系．解决本题的关键是同学们在理解质数的基础上对q的取值分偶数、奇数讨论．