Question

（2013•东城区模拟）无穷等差数列{an}的各项均为整数，首项为a1、公差为d，Sn是其前n项和，3、21、15是其中

Answer 1

解题思路：利用等差数列的公式，分别讨论前n项和3、21、15的具体项数，然后进行推理即可．首先根据条件得出d≤6；①99-21=78能被6整除，且=13，假设15和21之间有n项，那么99和21之间有13n项，得出结论；②30-21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是数列{a_n}中的一项，得出结论．③利用等差数列的前n项和公式化简S_2n=4S_n，得出结论

要使等差数列的公差最大，则3，15，21因为相邻的前n项和，此时对应 两项为15-3=12，21-15=6，所以d≤6．

①99-21=78能被6整除，且[78/6＝13，假设15和21之间有n项，那么99和21之间有13n项，所以99一定是数列{a_n}中的一项，所以①正确．

②30-21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是数列{a_n}中的一项，所以②错误．

③如果有S_2n=4S_n，那么由等差数列求和公式有：2na₁+n（2n-1）•d=4[na₁+

n(n−1)d

2]]，化简得到，d=2a₁，所以只要满足条件d=2a₁的数列{a_n}，就能使得对任意的n∈N^*，S_2n=4S_n成立，所以③正确．

故答案为：①③．

点评：

本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式的应用，解题的关键是根据条件得出公差．考查学生分析问题，解决问题的能力，综合性较强，难度较大．