解题思路:(1)连接OC,证明∠OCD=90°.根据垂径定理得OD垂直平分BC,所以DB=DC.从而△OBD≌△OCD,得∠OCD=∠OBD=90°;
(2)阴影面积=S扇形OBC-S△OBC.根据切线长定理知△BCD为等边三角形,可求∠BOC的度数,运用相关公式计算.
(1)证明:连接OC.
∵OD⊥BC,O为圆心,
∴OD平分BC.
∴DB=DC,
在△OBD与△OCD中,
OB=OC
DO=DO
DB=DC
∴△OBD≌△OCD.(SSS)
∴∠OCD=∠OBD.
又∵AB为⊙O的直径,BD为⊙O的切线,
∴∠OCD=∠OBD=90°,
∴CD是⊙O的切线;
(2)∵DB、DC为切线,B、C为切点,
∴DB=DC.
又DB=BC=6,
∴△BCD为等边三角形.
∴∠BOC=360°-90°-90°-60°=120°,
∠OBM=90°-60°=30°,BM=3.
∴OM=BM•tan30°=
3,OB=2OM=2
3.
∴S阴影部分=S扇形OBC-S△OBC
=
120×π×(2
3) 2
360-
1
2×6×
3
=4π-3
3(cm2).
点评:
本题考点: 切线的判定与性质;等边三角形的判定与性质;扇形面积的计算.
考点点评: 此题考查了切线的判定及性质、切线长定理、有关图形的面积计算等知识点,难度中等.