如图,已知AB为⊙O的直径,BD为⊙O的切线,过点B的弦BC⊥OD交⊙O于点C,垂足为M.

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  • 解题思路:(1)连接OC,证明∠OCD=90°.根据垂径定理得OD垂直平分BC,所以DB=DC.从而△OBD≌△OCD,得∠OCD=∠OBD=90°;

    (2)阴影面积=S扇形OBC-S△OBC.根据切线长定理知△BCD为等边三角形,可求∠BOC的度数,运用相关公式计算.

    (1)证明:连接OC.

    ∵OD⊥BC,O为圆心,

    ∴OD平分BC.

    ∴DB=DC,

    在△OBD与△OCD中,

    OB=OC

    DO=DO

    DB=DC

    ∴△OBD≌△OCD.(SSS)

    ∴∠OCD=∠OBD.

    又∵AB为⊙O的直径,BD为⊙O的切线,

    ∴∠OCD=∠OBD=90°,

    ∴CD是⊙O的切线;

    (2)∵DB、DC为切线,B、C为切点,

    ∴DB=DC.

    又DB=BC=6,

    ∴△BCD为等边三角形.

    ∴∠BOC=360°-90°-90°-60°=120°,

    ∠OBM=90°-60°=30°,BM=3.

    ∴OM=BM•tan30°=

    3,OB=2OM=2

    3.

    ∴S阴影部分=S扇形OBC-S△OBC

    =

    120×π×(2

    3) 2

    360-

    1

    2×6×

    3

    =4π-3

    3(cm2).

    点评:

    本题考点: 切线的判定与性质;等边三角形的判定与性质;扇形面积的计算.

    考点点评: 此题考查了切线的判定及性质、切线长定理、有关图形的面积计算等知识点,难度中等.