Question

若f(x)=x^2/2-1/2+m g(x)=ln(x^2+1)是否存在实数m,使得两函数图像恰有四个不同的交点

Answer 1

这个问题要一步一步化归

<1>f(x)是偶函数,g(x)也是偶函数,他们的定义域都是R,所以两函数图像恰有四个不同的交点等价于在x>0的时候,有2个不同交点.[f(0)与g(0)不能相等,否则焦点数为奇数个]

<2>f(x) = 1/2(x^2+1)-1-m; g(x) = ln(x^2+1)

h(x)=x^2+1 可以取遍 (1,+∞)所有实数,且h(x) 在x>0 时候是递增的.令n=x^2+1

设F(n) =n/2-1+m;G(n)=ln n ；可知f(x)与g(x) 在x>0的时候,有2个不同交点等价于F(x)与G(x)在x>0的时候,有2个不同交点

G`(n)=1/n当 G`(n)=1/n =1/2 时候,n=2,x=1 G(2) = ln2

接下来数形结合 可知 ln2