已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为 ,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A

1个回答

  • (1)设椭圆的方程为

    ∵椭圆的离心率为

    ∴a 2=4b 2

    又∵M(4,1),

    解得b 2=5,a 2=20,

    故椭圆方程为

    (2)将y=x+m代入

    并整理得5x 2+8mx+4m 2﹣20=0,

    ∵直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B

    ∴△=(8m) 2﹣20(4m 2﹣20)>0,

    解得﹣5<m<5

    (3)设直线MA,MB的斜率分别为k 1和k 2,只要证明k 1+k 2=0.

    设A(

    ),B(x 2,y 2),

    根据(2)中的方程,利用根与系数的关系得:

    上式的分子=(

    +m﹣1)(x 2﹣4)+(x 2+m﹣1)(

    ﹣4)

    =2

    x 2+(m﹣5)(

    +x 2)﹣8(m﹣1)

    =

    所以k 1+k 2=0,得直线MA,MB的倾斜角互补

    ∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形