(1)设椭圆的方程为
,
∵椭圆的离心率为
,
∴a 2=4b 2,
又∵M(4,1),
∴
,
解得b 2=5,a 2=20,
故椭圆方程为
(2)将y=x+m代入
并整理得5x 2+8mx+4m 2﹣20=0,
∵直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B
∴△=(8m) 2﹣20(4m 2﹣20)>0,
解得﹣5<m<5
(3)设直线MA,MB的斜率分别为k 1和k 2,只要证明k 1+k 2=0.
设A(
,
),B(x 2,y 2),
根据(2)中的方程,利用根与系数的关系得:
.
上式的分子=(
+m﹣1)(x 2﹣4)+(x 2+m﹣1)(
﹣4)
=2
x 2+(m﹣5)(
+x 2)﹣8(m﹣1)
=
所以k 1+k 2=0,得直线MA,MB的倾斜角互补
∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形