是说不等式的适用范围?
常用的条件当然是a,b,c非负(等号成立当且仅当a = b = c),通常的题目够用了.
一个充要条件是a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3) ≥ 0或a = b = c.理由如下.
设a=x³,b=y³,c=z³,abc ≤ ((a+b+c)/3)³等价于3xyz ≤ x³+y³+z³.
即0 ≤ x³+y³+z³-3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)
其中x²+y²+z²-xy-yz-zx = ((x-y)²+(y-z)²+(z-x)²)/2 ≥ 0,等号成立当且仅当x = y = z.
于是不等式成立时,或者有x+y+z ≥0 或者有x = y = z.
而等号成立当且仅当x = y = z 或 x+y+z = 0.
不加限制的话(a-b)²*b可以任意大,不存在最大值.
猜测原题应该有0 ≤ b ≤ a 这样的条件,此时a-b与2b均非负,可以用以上不等式.
(a-b)²*b = (a-b)²*2b/2 ≤ ((a-b+a-b+2b)/3)³/2 = 4a³/27.
等号成立当且仅当a-b = 2b,即b=a/3.