解题思路：（1）要证FD是⊙O的切线只要证明∠OCF=90°即可；
（2）根据已知证得△OEG∽△CBG根据相似比不难求得OC的长；
（3）根据S阴影=S△OCD-S扇形OBC从而求得阴影的面积．
证明：（1）连接OC（如图①），
∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∵OE⊥AC，
∴∠A+∠AOE=90°．
∴∠1+∠AOE=90°．
∵∠FCA=∠AOE，
∴∠1+∠FCA=90°．
即∠OCF=90°．
∴FD是⊙O的切线．
（2）连接BC，（如图②）
∵OE⊥AC，
∴AE=EC（垂径定理）．
又∵AO=OB，
∴OE∥BC且OE＝
1
2BC．
∴∠OEG=∠GBC（两直线平行，内错角相等），
∠EOG=∠GCB（两直线平行，内错角相等），
∴△OEG∽△CBG（AA）．
∴[OG/CG＝
OE
CB＝
1
2]．
∵OG=2，
∴CG=4．
∴OC=OG+GC=2+4=6．
即⊙O半径是6．
（3）∵OE=3，由（2）知BC=2OE=6，
∵OB=OC=6，
∴△OBC是等边三角形．
∴∠COB=60°．
∵在Rt△OCD中，CD=OC•tan60°=6
3，
∴S阴影=S△OCD-S扇形OBC=
1
2×6×6
3−
60π×62
360=18
3−6π．
点评：
本题考点： 切线的判定；圆周角定理；扇形面积的计算．
考点点评： 本题利用了等边对等角，切线的性质及概念，三角形的中位线的判定和性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质，三角形和扇形的面积公式求解．