首先区域D和被积函数都是关于x轴对称的.
因此不妨在D的上半部分:|x|+|y| ≤ 1,x ≤ 0,y ≥ 0计算积分,然后再乘以2.
这个积分区域其实就是-x+y ≤ 1,x ≤ 0,y ≥ 0.
而被积函数在其上可化简为|x|+|y| = -x+y.
x满足0 ≥ x ≥ -1+y ≥ -1,而对给定的0 ≥ x ≥ -1,y满足0 ≤ y ≤ 1+x (画图也许更清楚).
于是二重积分可写为如下累次积分:
∫{-1,0} dx ∫{0,1+x} (-x+y) dy
= ∫{-1,0} -x(1+x)+(1+x)²/2 dx
= ∫{-1,0} (1-x²)/2 dx
= 1/3.
乘以2得∫∫{D} (|x|+|y|)dxdy = 2/3.