Question

已知数列{an}满足an+an+1=2n+1（n∈N*），求证：数列{an}为等差数列的充要条件是a1=1．

Answer 1

解题思路：根据等差数列的定义以及充要条件的定义进行证明即可．

充分性：∵a_n+a_n+1=2n+1，

∴a_n+a_n+1=n+1+n，

即a_n+1-（n+1）=-（a_n-n），

若a₁=1，则a₂-（1+1）=-（a₁-1）=0，

∴a₂=2，以此类推得到a_n=n，

此时{a_n}为等差数列．

必要性：

∵a_n+a_n+1=2n+1，

∴a_n+2+a_n+1=2n+3，

两式相减得a_n+2-a_n=2，

若数列{a_n}为等差数列，则a_n+2-a_n=2d，

即2d=2，∴d=1．

则a_n+a_n+1=2a_n+1=2n+1，

∴a_n=n，即a₁=1成立．

综上数列{a_n}为等差数列的充要条件是a₁=1．

点评：

本题考点： 等差关系的确定．

考点点评： 本题主要考查等差数列的定义以及充要条件的应用，考查学生的推理能力．