华杯赛辅导讲座(初一)
(2006．4．15)
例1．两个正整数相加时,得到一个各位数字相同的两位数,这两个数相乘时,得到一个各位数字相同的三位数,求原来的两个数．
解 由于这两数和为二位数,故它们都不超过二位．由于其积的三位数字相同,故其积可以写成111t(1≤t≤9,t为整数)的形式．
111t＝37×3t．于是这两个数中必有一个为37或74．
若一个数为37,经试验,另一数为18；若一个数为74,经试验,另一个数为3．故填37与18或74与3．
例2．求质数p,使p2＋71的正约数不超过10个．
解 p＝2时,p2＋71＝75＝3×52,d(75)＝2×3＝6＜10,故p＝2是本题的解；
p＝3时,p2＋71＝80＝24×5,d(80)＝5×2＝10≤10,故p＝3是本题的解；
若质数p＞3,则p2≡1(mod 8)p2＋71≡0(mod 8),故23|p2＋71；
p2≡1(mod 3) p2＋71≡0(mod 3),故3|p2＋71．
所以,p2＋71＝2α×3β×t．其中α、β∈N*,且α≥3．
当α＝3,β＝1,t若有大于3的质因子,则d(p2＋71)≥4×2×2,故t＝1．此时无质数p满足题意；
当α＝4,β＝1,必有t＝1,此时有d(p2＋71)≥5×2＝10．此时无质数p满足题意；
当α≥4,β≥1,且等号不同时成立时,d(p2＋71)＞10．
综上可知,解为p＝2,3．
例3．把1－51这51个整数分成17组,每组3个数,各组数的和都相等．
1＋2＋3＋…＋51＝52×51÷2＝26×51；故分成每组3个数的和＝26×51÷17＝78．
把1－51这51个数先分成3组,1－17一组,18－34为第二组,35－51为第三组．
如果能把第一组排成递减2的一行数,第二组排成递增1的一行数,则可以排出满足要求的数组来：
17 15 13 11 9 7 5 3 1 16 14 12 10 8 6 4 2
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
43 44 45 46 47 48 49 50 51 35 36 37 38 39 40 41 42
例4．2006100200650＋95的整数部分末两位数字是几?
2006100200650＋95＝2006100－910＋910200650＋95＝(200650－95)(200650＋95)＋910200650＋95
＝200650－95＋910200650＋95．
但95的末两位数字为49,而200650的末两位数字与650的末两位数字相同．
计算61,62,63,……的末两位数字,分别得到6,36,16,96,76,56；36；16；96；76；即其末两位数字将出现循环,故650的末两位数字为76,从而200650－95的末两位数字为27．
故原式的整数部分的末两位数字为27．
例5．⑴ 在1,2,3,4,…,2005,2006这2006个平方数的每一个的前面添上适当的“＋”号或“—”号,使其代数和取最小非负整数值．这个最小非负整数值是多少?试证明你的结论?
⑵ 在12,22,32,42,…,20052,20062这2006个平方数的每一个的前面添上适当的“＋”号或“—”号,使其代数和取最小非负整数值．这个最小非负整数值是多少?试证明你的结论?
解 ⑴ 由于这2006个数中有1003个奇数与1003个偶数,故其和为奇数,从而任意改变某些数前的符号,其代数和的奇偶性不变,故无论怎样改变这些数前的符号,都不能使其和为偶数,从而此和不可能等于0,所以,所求的最小非负和最小为1．
又n－(n＋1)－(n＋2)＋(n＋3)＝0,故可从3起每4个数一组,每组的第1、4两个数前用“＋”号,而第2、3两个数前用“－”,则此2004个数的和为0,再在1前用“－”号,2前用“＋”号,则此2006个数的和为1．
所以,所求的最小非负和为1．
⑵ 同上知,此和不可能等于0．
由n2－(n＋1)2－(n＋2)2＋(n＋3)2＝4,如果在连续8个自然数的平方和中,第1、4、6、7个前面取“＋”号,第2、3、5、8个前面取“—”号,则其代数和为0．
2006＝8×250＋6,若把从72起每依次8个数为一组,按上述方法安排“＋”“－”号,则这些数(共250组))的代数和为0．
12＋22＋32＋42＋52＋62＝91,而(91－1)÷2＝45,且4＋16＋25＝45,故只要在22、42、52前用“－”号,12、32、62前而用“＋”号,则可使其代数和为1．
故,可以安排这2006个平方数前面的“+、－”号,使其代数和等于1．
从而这个最小非负整数值为1．
例6．⑴ 能否找到16个互不相同的整数,使其中任意9个整数的和都不能被9整除；
⑵ 能否找到17个互不相同的正整数也满足此要求?
例如,其中8个被9除都余1,另8个数被9整除．这样的16个数中,任何9个都不能被9整除．
由于任取5个数,其中一定有3个数其和为3的倍数,取这5个数被3除的余数,只能是1,2,0．若5个数被3除的余数中,这三种2都有,则每种余数的数各取一个,其和是3的倍数,如果这5个数被3除只有2种余数,则由抽屉原理知,必有3个数被3除的余数相同．取此3个数,其和是3的倍数．
于是,17个数一定能组成5组,每组3个数,其和是3的倍数．
把这5组数的和为3a,3b,3c,3d,3e．考虑a、b、c、d、e这5个数,由上证,其中必有3个数的和为3的倍数,不妨设a+b+c是3的倍数．于是3a+3b+3c是9的倍数,此时,取和为3a、3b、3c的9个数,其和为9的倍数．即任取17个整数,其中一定可以找到9个数,其和为9的倍数．因此找不到17个满足上述要求的正整数．
例7．已知m、n、k为正整数,m≥n≥k,且2m+2n－2k是100的倍数,求m+n－k的最小值．
解 设2m+2n－2k =100t(t∈N),若n=k,则得2m=100t,不可能,∴n>k．
∴ 2k(2m－k+2n－k－1)=22•52t．由2m－k+2n－k－1为奇数,∴ k≥2．
取m－k=p,n－k=q,(04(∵ 24+2313．
∴ 最小值为13．
例8．把1,2,3,4,5,6,7,8这8个数写在立方体的八个顶点处,在各棱的中点注上该棱两端的两个数的和,共得12个和.这12个和能否只有5个不同的值? 能否只有4个不同的值?
分析 为了解决本题,考虑与某顶点相邻的三条棱中点处可能写的数：
同一顶点出发的三条棱的中点处写的三个数都不同.因为从这一顶点出发的三条棱的另一端点处写的三个数都互不相同.
与1相邻的三条棱的中点处可能写3,4,5,6,7,8,9这7个数中的3个；
与8相邻的三条棱的中点处可能写9,10,11,12,13,14,15这7个数中的3个；
现在考虑最小的数1与最大的数8,与它们相邻的棱的中点处写的数中只有一个数相同,即为9.换句话说,与1和8相邻的棱上出现的数除9外都不可能相同.而且,要在这两个数为一个端点的棱的中点处出现9,必须1与8是同一条棱的两个端点.如果1与8不是同一条棱的两个端点,则与它们相邻的棱就有6条,这6条棱的中点处写的数就有互不相同的6个数.于是所有棱的中点处写的数就不会少于6个.而只有当1与8是同一条棱的两个端点时与它们相邻的棱上只出现5个不同的数.
为此要使条棱中点处写的数只有5个不同的数值.就必须把1与8放在同一条棱的两端.此时,如果让与1相邻的数尽可能大,而与8相邻的数尽可能小.就有可能在各条棱中点处只出现5个数.如下图中的安排就是合要求的一种填法.
不同数值 A B C D E F G H
7,8,9,10,11, 1 6 2 8 7 4 5 3
由上面的分析知,在棱的中点处填的数只有4个不同的值的填法是不可能有的.
例9．有8组密码,都是由三个字母组成的,分别代表一个三位数,相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的数字.它们分别是：
WNX RWQ SXW XNS PST NXY QWN TSX
已知其中四个密码分别代表571、439、286、837．
你能破译出这8组密码吗?
给出的4组数有12个数码,1－9均有,其中,3重复2次,都在十位；7重复两次,在十、个位；8重复两次,在百、十位．第4个数组837中的每个数字都重复出现过．
在8组密码中,十位重复的有4个字母：N、W、X、S,故其中必有一个字母是3．
⑴ 设N＝3,则837必为WNX或XNS：
① 若W＝8,X＝7,则571无密码组对应,故不可能；
② 若X＝8,S＝7,则286无密码组对应,故不可能；
⑵ 设W＝3,则837为RWQ或QWN,
① 若Q＝7,则571无密码组对应,
② 若Q＝8,则286无密码组对应,故不可能；
⑶ 设X＝3,则SXW＝837或NXY＝837,
① 由于Y只出现1次,与7重复出现矛盾,故NXY＝837不可能；
② 若SXW＝837时,可逐步推出Q＝1,P＝2,X＝3,N＝4,R＝5,T＝6,W＝7,S＝8,Y＝9．这8组密码分别为
743 571 837 348 286 439 174 683
例10．⑴ 能否在一个圆圈上安排数字1,2,3,…,13,使任两个相邻位置上的数之差(大减小)是5或8?
⑵ 能否在一个圆圈上安排数字1,2,3,…,13,使任两个相邻位置上的数之差(大减小)是3,4或5?
⑴ 1,6,11,3,8,13,5,10,2,7,12,4,9,即安排完了；
⑵ 由于1,2,3,11,12,13这6个数不能相邻,故它们排在圆圈上后,每两个数间至少要再插入1个数．即余下7个数要插入此6个空档处．由于4只能与此6个数中的1相邻,10只能与这6个数中的13相邻,故4与10也不能单独插入某个空档．这样其余5个数就必须单独插入某个空档,只能用4与10共同插入1个空档,但这两个数又不能相邻,即无法完成这一安排．