从主动与被动角度来看,现在分词表主动,过去分词表被动.
其实你所给的第一个例句“问题解决后,我们就回家了”中的being是多余的.我给你举一个现在分词的例子：
He stood there,his hands waving.他站在那儿挥手.（his hands与waving是主动关系）
另外,从时间方面来看,现在分词还可以表示动作正在进行,过去分词表示动作已经结束.
如：
The birds singing,he went to school.他上学时,鸟儿在唱歌.
如果既要表示动作正在进行,又要表示被动,怎么办呢?用being done.
所以,“The question being settled,we went home”意思是“由于问题正在被解决,我们回家了”.
值得提醒的是：being常常表示原因,作原因状语.像上句的being settled既可视为原因状语,也可视为时间状语.