Question

设函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值−23

Answer 1

解题思路：（1）根据奇偶性判断b、d的值，再有在1处的极值求出a、c．

（2）函数在1和-1处取代极值，判断其为最值，根据两最值之差最大，证明问题．

（1）∵函数f（x）图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f（-x）=-f（x）．

∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，即bx²-2d=0恒成立．

∴b=0，d=0，即f（x）=ax³+cx．∴f′（x）=3ax²+c．

∵x=1时，f（x）取极小值-[2/3]．∴f′（1）=0且f（1）=-[2/3]，

即3a+c=0且a+c=-[2/3]．解得a=[1/3]，c=-1．（6分）

（2）证明：∵f′（x）=x²-1，由f′（x）=0，得x=±1．

当x∈（-∞，-1）或（1，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0．

∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且f_max（x）=f（-1）=[2/3]，f_min（x）=f（1）=-[2/3]．

∴在[-1，1]上，|f（x）|≤[2/3]．

于是x₁，x₂∈[-1，1]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=[2/3]+[2/3]=[4/3]．

故x₁，x₂∈[-1，1]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤[4/3]．（12分）

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 该题考查函数奇偶性对应的奇数次项系数的值以及偶数次项系数的值，考查反正发的使用，考查两数之间最值之差最大，为中等题，