不等式(inequality)
用不等号将两个解析式连结起来所成的式子.例如2x＋2y≥2xy,sinx≤1,ex＞0 ,2x＜3等 .根据解析式的分类也可对不等式分类,不等号两边的解析式都是代数式的不等式,称为代数不等式；只要有一边是超越式,就称为超越不等式.例如lg(1＋x)＞x是超越不等式.
通常不等式中的数是实数,字母也代表实数,不等式的一般形式为F(x,y,……,z)≤G(x,y,……,z )（其中不等号也可以为＜,≥,＞ 中某一个）,两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域,不等式既可以表达一个命题,也可以表示一个问题.
不等式的最基本性质有：①如果x＞y,那么y＜x；如果y＜x,那么x＞y；②如果x＞y,y＞z；那么x＞z；③如果x＞y,而z为任意实数,那么x＋z＞y＋z；④ 如果x＞y,z＞0,那么xz＞yz；⑤如果x＞y,z＜0,那么xz＜yz.
由不等式的基本性质出发,通过逻辑推理,可以论证大量的初等不等式,其中比较有名的有：
柯西不等式：对于2n个任意实数x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn,恒有（x1y1＋x2y2＋…＋xnyn）2≤（x1^2＋x2^2＋…＋xn^2）（y1^2＋y2^2＋…＋yn^2）.
排序不等式：对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn,y1≤y2≤…≤yn,设yi1,yi2,…,yin是后一组的任意一个排列,记S＝x1yn＋x2yn-1＋…＋xny1,M＝x1yi1＋x2yi2＋…＋xnyin,L＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn,那么恒有S≤M≤L.
根据不等式的基本性质,也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理.主要的有：①不等式F（x）＜ G（x）与不等式 G（x）＞F（x）同解.②如果不等式F（x） ＜ G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含,那么不等式 F（x）＜G（x）与不等式F（x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解.③如果不等式F（x）＜G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包含,并且H（x）＞0,那么不等式F(x)＜G（x）与不等式H（x）F（x）＜H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）＜0,那么不等式F（x）＜G（x）与不等式H (x)F（x）＞H（x）G（x）同解.④不等式F（x）G（x）＞0与不等式同解；不等式F（x）G（x）＜0与不等式同解.
不等式分为严格不等式与非严格不等式.一般地,用纯粹的大于号、小于号“＞”“＜”连接的不等式称为严格不等式,用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）
“≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式,或称广义不等式.
在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子,那它就是一个不等式.
如:甲大于乙(甲>乙),就是一个不等式.不等式不一定只有「>」,「0,即A>B.又同理可证:A>C,A>D.所以,A最大.
不等式是不包括等号在内的式子比如：（不等号 大于等于号,小于等于号）只要用这些号放在式子里就是不等式咯．．
1.符号：
不等式两边都乘以或除以一个负数,要改变不等号的方向.
2.确定解集：
比两个值都大,就比大的还大；
比两个值都小,就比小的还小；
比大的大,比小的小,无解；
比小的大,比大的小,有解在中间.
三个或三个以上不等式组成的不等式组,可以类推.
3.另外,也可以在数轴上确定解集：
把每个不等式的解集在数轴上表示出来,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.
1.不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,cd,那么a+c>b+d. (不等式的加法法则)
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. (可乘性)
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.当0b 那么c大于等于a
性质7不一定成立,如a取值28,b取值3,c取值19,则c不大于a
例1:判断下列命题的真假,并说明理由.
若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假,因为c.d符号不定)
若a+c>c+b,则a>b;(真)
若a>b且abb;(真)
若|a|b2;(充要条件)
命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.
a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥)
说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.
例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.
说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想
几个重要不等式(二)柯西不等式
,当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号
柯西不等式的几种变形形式
1.设aiÎR,bi>0 (i=1,2,…,n)则,当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号
2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n),则,当且仅当b1=b2=…=bn时取等
三、排序不等式
设a1£a2£…£an,b1£b2£…£bn;r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排列,则有：
a1bn+ a2bn-1+…+ anb1£a1br1+ a2br2+…+ anbrn£ a1b1+ a2b2+…+ anbn
反序和£乱序和£同序和
例1.对a,b,cÎR+,比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小
取两组数a,b,c；a2,b2,c2,则有a3+b3+c3³a2b+b2c+c2a
例2.正实数a1,a2,…,an的任一排列为a1/,a2/,…an/,则有
证明：取两组数a1,a2,…,an；
其反序和为,原不等式的左边为乱序和,有
例3.已知a,b,cÎR+求证：
证明：不妨设a³b³c>0,则>0且a12³b12³c12>0
则
例4.设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列,求证：
证明：设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列,且b1