左焦点为F的双曲线C:x2a2−y2b2=1,(a>0,b>0)的右支上存在点A,使得直线FA与圆x2+y2=a2相切,

3个回答

  • 解题思路:利用直线FA与圆x2+y2=a2相切,可求得切线的斜率为[a/b],再分析出切线AF的斜率小于渐近线y=[b/a]x的斜率[b/a],即可求得双曲线C的离心率取值范围.

    设直线FA的方程为:y=k(x+c),∵直线FA与x2+y2=a2相切,

    ∴a=

    |ck|

    1+k2,

    ∴a2+a2k2=c2k2

    ∴b2k2=a2,又k>0,

    ∴k=[a/b],

    ∵切线与右支有交点A,则切线AF的斜率小于渐近线y=[b/a]x的斜率[b/a],

    即[a/b]<[b/a],

    ∴a2<b2,又b2=c2-a2

    ∴c2>2a2

    ∴e2=

    c2

    a2>2,

    ∴e>

    2.

    点评:

    本题考点: 双曲线的简单性质.

    考点点评: 本题考查双曲线的简单性质,分析出切线AF的斜率小于渐近线y=[b/a]x的斜率[b/a]是关键,考查分析与运算能力,属于中档题.