Question

左焦点为F的双曲线C：x2a2−y2b2＝1，(a＞0，b＞0)的右支上存在点A，使得直线FA与圆x2+y2=a2相切，

Answer 1

解题思路：利用直线FA与圆x²+y²=a²相切，可求得切线的斜率为[a/b]，再分析出切线AF的斜率小于渐近线y=[b/a]x的斜率[b/a]，即可求得双曲线C的离心率取值范围．

设直线FA的方程为：y=k（x+c），∵直线FA与x²+y²=a²相切，

∴a=

|ck|

1+k2，

∴a²+a²k²=c²k²，

∴b²k²=a²，又k＞0，

∴k=[a/b]，

∵切线与右支有交点A，则切线AF的斜率小于渐近线y=[b/a]x的斜率[b/a]，

即[a/b]＜[b/a]，

∴a²＜b²，又b²=c²-a²，

∴c²＞2a²．

∴e²=

c2

a2＞2，

∴e＞

2．

点评：

本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的简单性质，分析出切线AF的斜率小于渐近线y=[b/a]x的斜率[b/a]是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．