解题思路:(1)连接A1C,交AC1于N,连接DN,证明DN∥A1B,即可证明A1B∥平面AC1D;
(2)根据BB1⊥平面ABC,得到BB1⊥AD,等腰△ABC中根据“三线合一”,得到AD⊥BC,从而证出AD⊥平面BB1C1C,可得AD⊥CE.正方形BB1C1C中,根据Rt△CBE≌Rt△C1CD证出C1D⊥CE,再利用线面垂直判定定理即可证出CE⊥平面AC1D;
(3)求出A1到平面AC1D的距离,即可求出直线C1A1与平面AC1D所成的角的正弦值.
(1)证明:连接A1C,交AC1于N,连接DN,三棱柱ABC-A1B1C1中,
所以N为A1C的中点,又D为BC中点.所以DN∥A1B,
DN⊄平面AC1D,A1B⊂平面AC1D,
所以A1B∥平面AC1D.
(2)证明:∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,AD⊂平面ABC,
∴BB1⊥AD,
∵△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC,
∵BC、BB1是平面BB1C1C内的相交直线,∴AD⊥平面BB1C1C,
∵CE⊂平面BB1C1C,∴AD⊥CE,
∵正方形BB1C1C中,D、E分别为BC、BB1的中点,
∴Rt△CBE≌Rt△C1CD,∠CC1D=∠BCE,可得∠BCE+∠C1DC=90°,得C1D⊥CE,
∵AD、C1D是平面AC1D内的相交直线,∴CE⊥平面AC1D;
(3)设AB=AC=BC=AA1=2,则△AC1D中,AC1=2
2,C1D=
5,AD=
3,
∴S△AC1D=[1/2]×
3×
5=
15
2,
设A1到平面AC1D的距离为h,即B到平面AC1D的距离为h,
∵S△C1DB=[1/2]×1×2=1,
点评:
本题考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
考点点评: 本题在特殊的正三棱柱中证明线面平行、线面垂直,并求直线与平面所成角.着重考查了空间平行、垂直位置关系的判断与证明和直线与平面所成角的定义及求法等知识,属于中档题.