Question

（2014•凉山州模拟）四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，且ABCD是菱形，AC、BD相交于点O

Answer 1

解题思路：（1）先利用直线与平面垂直的性质证明出AA₁⊥BD，再由平行四边形ABCD中的已知条件推导出AC⊥BD，由此能够证明BD⊥平面ACC₁A₁．

（2）连结A₁O，由（1）知A₁B在平面ACC₁A₁内的射影是A₁O，从而得到A₁B与平面ACC₁A₁所成的角是∠BA₁O，由此能求出A₁B与平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

（1）证明：在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，

∵AA₁⊥平面ABCD，

∴AA₁⊥BD，

平行四边形ABCD中，

∵AB=BC，∴AC⊥BD，

∵AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁．

（2）连结A₁O，由（1）知A₁B在平面ACC₁A₁内的射影是A₁O，

则A₁B与平面ACC₁A₁所成的角是∠BA₁O，

∵在平行四边形ABCD中，AB=BC=2，∠ABC=60°，

∴BO=

3，

∵AA₁=4，AB=2，∴A1B＝2

5，

∴在Rt△A₁OB中，sin∠BA₁O=[BO

A1B=

3

2

5=

15/10]．

∴A₁B与平面ACC₁A₁所成角的正弦值是

15

10．

点评：

本题考点： 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值，解题时要注意空间思维能力的培养．