解题思路：（1）由
S
n
＝
n
2
a
n
−n(n−1)
可得，当n≥2时：
S
n
＝
n
2
(
S
n
−
S
n−1
)−n(n−1)
，两式相减可得{[n+1/n
S
n
}是等差数列，结合等差数列的通项公式可求
n+1
n
S
n
，进而可求
（2）由（1）可得
b
n
＝
S
n
n
3
＝
1
n(n+1)
＝
1
n
−
1
n+1]，利用裂项相消法可求和，即可证明
证明：（1）由Sn＝n2an−n(n−1)知，
当n≥2时：Sn＝n2(Sn−Sn−1)−n(n−1)，…（1分）
即(n2−1)Sn−n2Sn−1＝n(n−1)，
∴[n+1/nSn−
n
n−1Sn−1＝1，对n≥2成立． …（3分）
又
1+1
1S1＝1
∴{
n+1
nSn}是首项为1，公差为1的等差数列．
∴
n+1
nSn＝1+(n−1)•1…（5分）
∴Sn＝
n2
n+1]…（6分）
（2）bn＝
Sn
n3＝
1
n(n+1)＝
1
n−
1
n+1…（8分）
∴b1+b2+…+bn＝1−
1
2+
1
2−
1
3+…
1
n−
1
n+1
=1−
1
n+1＜1…（12分）
点评：
本题考点： 数列递推式；等差关系的确定；数列的求和．
考点点评： 本题主要考查了数列的和与项相互转化的递推公式在数列的通项公式的求解中的应用，裂项求和方法的应用是证明（2）的关键
1年前
2
am007999
幼苗
共回答了10个问题
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(1)由条件知：Sn=n^2(Sn-Sn-1)-n(n-1),整理一下，(n^2-1)Sn=n^2Sn-1+n(n-1),两边同除n(n-1),
得(n+1)Sn/n=nSn-1/(n-1)+1,这就是等差数列。
（2）由上一问可得(n+1)Sn/n=n,Sn=n^2/(n+1),则Bn=1/n(n+1)
B1+B2+B3+...+Bn=1-1/(n+1)=n/(n+1)（这是裂项法）哪里不明白问哦^-^
1年前
2
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