Question

已知函数f（x）=ax−1ax+1（a＞0且a≠1）．

Answer 1

解题思路：（1）对于任意实数x，都有a^x＞0，进而可得函数解析式恒有意义，即可得到函数f（x）的定义域；由f（x）=1-

2

a

x

+1

，结合指数函数的值域利用分析法，可求出值域．

（2）任取实数x，判断f（-x）与f（x）的关系，进而根据函数奇偶性的定义，可判断此函数的奇偶性．

（3）任取实数x₁＜x₂，判断f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据函数单调性的定义，可得答案．

（1）∵∀x∈R，都有a^x＞0，

∴a^x+1＞1，

故函数f（x）=

ax−1

ax+1（a＞0且a≠1）的定义域为实数集R．

∵f（x）=

ax−1

ax+1=1-

2

ax+1，

而a^x＞0，

∴a^x+1＞1，

∴0＜

2

ax+1＜2，

∴-2＜-

2

ax+1＜0，

∴-1＜1-

2

ax+1＜1．

即-1＜f（x）＜1．

∴函数f（x）的值域为（-1，1）．

（2）函数f（x）在实数集R上是奇函数．下面给出证明．

∵∀x∈R，f（-x）=

a−x−1

a−x+1=

1−ax

1+ax=-

ax−1

ax+1=-f（x），

∴函数f（x）在实数集R上是奇函数．

（3）∀x₁＜x₂，

则f（x₁）-f（x₂）=1-

2

ax1+1-（1-

2

ax2+1）=

2(ax1−ax2)

(ax1+1)(ax2+1)，

若a＞1，∴a^x₁+1＞0，a^x₂+1＞0，a^x₁-a^x₂＜0，

∴f（x₁）＜f（x₂），

∴当a＞1时，函数f（x）在实数集R上单调递增．

若0＜a＜1，∴a^x₁+1＞0，a^x₂+1＞0，a^x₁-a^x₂＞0，

∴f（x₁）＞f（x₂），

∴当0＜a＜1时，函数f（x）在实数集R上单调递减．

点评：

本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题综合考查了函数的定义域、值域、奇偶性及单调性，熟练掌握以上知识及方法是解决问题的关键．