Question

求S面积！！！S为以原点为圆心 a为半径的球的上半球面被柱面x^2+y^2=ax所割下部分。

Answer 1

求曲面z=xy/a被柱面x²+y²=a²所割 下部分的面积A. ∂z/∂x=y/a；∂z/∂y=x/a,积分域Dxy ：圆心在原点,半径r=a的园. A=[Dxy]∫∫√[1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²]dx dx=[Dxy]∫∫√[1+(x²+y²)/a²]dxdy=[Dx y](1/a)∫∫√(a²+x²+y²)dxdy 为便于计算,换成极坐标：x=ρcosθ, y=ρsinθ；0≦θ≦2π；0≦ρ≦a；于 是得： A=[Dρθ](1/a)∫∫[√(a²+ρ²)]ρdρdθ=(1/a)∫[0,2π]dθ∫[0,a]√(a²+ρ²)]ρdρ =(2π/a)(1/2)∫[0,a]√(a²+ρ²)]d(a²+ρ²) =(π/a)[(2/3)(a²+ρ²)^(3/2)]︱[0,a] =(2π/3a)[(2a²)^(3/2)-(a²)^(3/2)=(2 π/3a)[2(√2)-1]a³=[2(2√2-1)/3]πa².