解题思路:(1)求函数f(x)的定义域,就是)求
x+
a
x
−2>0
,可以通过对a分类讨论解决;
(2)可以构造函数
g(x)=x+
a
x
−2
,当a∈(1,4)时通过导数法研究g(x)在[2,+∞)上的单调性,再利用复合函数的性质可以求得f(x)在[2,+∞)上的最小值;
(3)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,即
x+
a
x
−2>1
对x∈[2,+∞)恒成立,转化为a是x的函数,即可求得a的取值范围.
(1)由x+
a
x−2>0得,
x2−2x+a
x>0
解得a>1时,定义域为(0,+∞)
a=1时,定义域为{x|x>0且x≠1},
0<a<1时,定义域为{x|0<x<1−
1−a或x>1+
1−a}
(2)设g(x)=x+
a
x−2,当a∈(1,4),x∈[2,+∞)时,
g′(x)=1−
a
x2=
x2−a
x2>0恒成立,
∴g(x)=x+
a
x−2在[2,+∞)上是增函数,
∴f(x)=lg(x+
a
x−2)在[2,+∞)上是增函数,
∴f(x)=lg(x+
a
x−2)在[2,+∞)上的最小值为f(2)=lg
a
2;
(3)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,
即x+
a
x−2>1对x∈[2,+∞)恒成立
∴a>3x-x2,而h(x)=3x−x2=−(x−
3
2)2+
9
4在x∈[2,+∞)上是减函数,
∴h(x)max=h(2)=2,∴a>2
点评:
本题考点: 函数恒成立问题;对数函数的定义域;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题考查函数恒成立问题,(1)着重考查分类讨论思想;(2)着重考查复合函数的函数单调性质求最值,方法为导数法;(3)着重考查分离参数法,是一道好题.