解题思路：（I）
f(x)＝
x
2
+ax+1
x−1
(a≠−2)
=x-1+[a+2/x−1]+a+2，由y=x+[a+2/x]（a≠2）的图象有一个唯一的对称中心（0，0），f（x）的对称中心是（b，1），能求出a．
（II）由a=-1，b=1，知f（x）=
x
2
−x+1
x−1
.
f
′
(x)＝
(2x−1)(x−1)−(
x
2
−x+1)
(x−1
)
2
=
x(x−2)
(x−1
)
2
，由此能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅲ）由g（x）=x3-3c2x-2c（c≤-1），得g′（x）=3x2-3c2=3（x2-c2），由对任意x1∈[2，4]，总存在x2∈[-1，0]，使得f（x1）=g（x2）成立推导出-2c
≤3＜
13
3
≤3
c
2
−2c−1
，其中c≤-1．由此能求出c的取值范围．
（I）∵f(x)＝
x2+ax+1
x−1(a≠−2)
=
(x−1)2+(a+2)x
x−1
=x-1+[a+2/x−1]+a+2，
∵y=x+[a+2/x]，（a≠2）的图象有一个唯一的对称中心（0，0），
∴f（x）有唯一一个对称中心（1，a+2），
∵f（x）的对称中心是（b，1），∴a=-1，b=1．
故a=-1．
（II）∵a=-1，b=1，∴f（x）=
x2−x+1
x−1．
∴f′(x)＝
(2x−1)(x−1)−(x2−x+1)
(x−1)2=
x(x−2)
(x−1)2，
列表讨论：
x （-∞，0） 0 （0，1） 1 （1，2） 2 （2，+∞）
f′（x） + 0 - 不存在 - 0 +
f（x） ↑ -1 ↓ 不存在 ↓ 3 ↑∴函数f（x）的增区间为（-∞，0）和（2，+∞），减区间为（0，1）和（1，2）．
（Ⅲ）由g（x）=x3-3c2x-2c（c≤-1），得
g′（x）=3x2-3c2=3（x2-c2），
当x2∈[-1，0]时，g′（x2）≤0，
∴g（x2）∈[g（0），g（-1）]．即g（x2）∈（-2c，-2c-1），
∵f（x）在[2，4]上是增区数，f（2）=3，f（4）=[13/3]，
∴f(x1)∈[3，
13
3]．
∵任意x1∈[2，4]，总存在x2∈[-1，0]，使得f（x1）=g（x2）成立，
∴-2c≤3＜
13
3≤3c2−2c−1，其中c≤-1．
∴
−2c≤3
c≤−1
3c2−2c−
16
3≥0，解得−
3
2≤c≤
1−
17
3．
故c的取值范围是[-[3/2]，
1−
17
3]．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查函数的对称中心的应用，考查函数的单调区间的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质、等价转化思想、分类讨论思想的合理运用．