解题思路:(1)直接利用二维均匀分布的定义,求出联合概率密度;(2)先根据边缘概率密度的定义求出两个随机变量的概率密度,然后判断乘积是否与联合概率密度相等即可;(3)根据公式
f
Z
(z)=
∫
+∞
−∞
f
X
(x, z−x) dx
求解.
(1)D的面积m(D)=2,所以,(X,Y) 的联合密度
f(x,y)=
1
2amp;(x,y)∈D
0amp;其它
(2)设X与 Y 的边际密度函数分别为fX(x) 和fY(y),
fX(x)=
∫+∞−∞f(x,y)dy=
∫x1
1
2dy=[1/2(x−1),(1≤x≤3).
fY(y)=
∫+∞−∞f(x,y)dx=
∫3y
1
2dx=
1
2(3−y),(1≤y≤3).
因为 f(x,y)≠fX(x)fY(y),所以 X与Y不独立.
(3)∵fZ(z)=
∫+∞−∞fX(x, z−x) dx
非零区域
1≤x≤3
1≤z−x≤x]⇒
1≤x≤3
x+1≤z≤2x
当2≤z<4时,fZ(z)=
∫z−1
z
2
1
2dx=[z/4−
1
2]
当4≤z≤6时,fZ(z)=
∫3
z
2
1
2dx=−
z
4+
3
2
其它,fZ(z)=0
∴fZ(z)=
z
4−
1
2,2≤z<4
−
z
4+
3
2,4≤z≤6
0,其它
点评:
本题考点: 联合分布和边缘分布的关系;二维均匀分布的概率密度.
考点点评: 此题考查二维均匀分布、离边缘概率密度的求解、随机变量函数的求解,这些基础知识点的综合,需熟练掌握,方能较快求解.