设二维随机变量 (X,Y) 在 D={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤x }

1个回答

  • 解题思路:(1)直接利用二维均匀分布的定义,求出联合概率密度;(2)先根据边缘概率密度的定义求出两个随机变量的概率密度,然后判断乘积是否与联合概率密度相等即可;(3)根据公式

    f

    Z

    (z)=

    +∞

    −∞

    f

    X

    (x, z−x) dx

    求解.

    (1)D的面积m(D)=2,所以,(X,Y) 的联合密度

    f(x,y)=

    1

    2amp;(x,y)∈D

    0amp;其它

    (2)设X与 Y 的边际密度函数分别为fX(x) 和fY(y),

    fX(x)=

    ∫+∞−∞f(x,y)dy=

    ∫x1

    1

    2dy=[1/2(x−1),(1≤x≤3).

    fY(y)=

    ∫+∞−∞f(x,y)dx=

    ∫3y

    1

    2dx=

    1

    2(3−y),(1≤y≤3).

    因为 f(x,y)≠fX(x)fY(y),所以 X与Y不独立.

    (3)∵fZ(z)=

    ∫+∞−∞fX(x, z−x) dx

    非零区域

    1≤x≤3

    1≤z−x≤x]⇒

    1≤x≤3

    x+1≤z≤2x

    当2≤z<4时,fZ(z)=

    ∫z−1

    z

    2

    1

    2dx=[z/4−

    1

    2]

    当4≤z≤6时,fZ(z)=

    ∫3

    z

    2

    1

    2dx=−

    z

    4+

    3

    2

    其它,fZ(z)=0

    ∴fZ(z)=

    z

    4−

    1

    2,2≤z<4

    z

    4+

    3

    2,4≤z≤6

    0,其它

    点评:

    本题考点: 联合分布和边缘分布的关系;二维均匀分布的概率密度.

    考点点评: 此题考查二维均匀分布、离边缘概率密度的求解、随机变量函数的求解,这些基础知识点的综合,需熟练掌握,方能较快求解.