Question

已知函数f（x）=mx3+nx2的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若f（x）在区间[t，t+1]

Answer 1

解题思路：先对函数f（x）进行求导，又根据f'（-1）=-3，f（-1）=2可得到关于m，n的值，代入函数f（x）可得f'（x），当f'（x）＜0时x的取值区间为减区间，从而解决问题．

由已知条件得f'（x）=3mx²+2nx，

由f'（-1）=-3，∴3m-2n=-3．

又f（-1）=2，∴-m+n=2，

∴m=1，n=3

∴f（x）=x³+3x²，∴f'（x）=3x²+6x．

令f'（x）＜0，即x²+2x＜0，

函数f（x）的单调减区间是（-2，0）．

∵f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，

则实数t的取值范围是[-2，-1]

故答案为[-2，-1]．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的单调性与导数的关系．

考点点评： 本题主要考查通过求函数的导数来求函数增减区间的问题、利用导数研究曲线上某点切线方程．属于基础题．