Question

已知函数f（x）=log a （x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函

Answer 1

（1）设点P（x，y）是g（x）的图象上的任意一点，则Q（-x，-y）在函数f（x）的图象上，

即-y=log _a（-x+1），则 y= - log a (1-x)= log a

1

1-x

∴ g(x)= log a

1

1-x

（2）f（x）+g（x）≥m 即 log a (1+x)+ log a

1

1-x ≥m ，

也就是 log a

1+x

1-x ≥m 在[0，1）上恒成立．

设 h(x)= log a

1+x

1-x ，x∈[0，1) ，

则 h(x)= log a (-

x+1

x-1 ) = log a (-

x-1+2

x-1 ) = log a (-1-

2

x-1 )

由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，

只需h（x） _min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．

m的取值范围是（-∞，0]