Question

若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（　　）

Answer 1

解题思路：直接利用矩阵的相似对角化求解即可得到A，B相似．

n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，

设其特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，则A，B均可对角化，

即存在可逆矩阵P，Q，使得PAP−1＝diag(λ1，λ2，…，λn)＝QBQ−1，

因此A，B都相似于同一个对角矩阵diag（λ₁，λ₂，…，λ_n），

所以，A与B相似．

故选：A．

点评：

本题考点： 线性无关的概念；矩阵可相似对角化的充分必要条件．

考点点评： 本题考查矩阵相似对角化的性质．相似对角化关键不在特征值的数量，而在线性无关的特征向量数量．