(2012•溧水县一模)已知二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴有且只有一个公共点.

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  • 解题思路:(1)根据首先可以利用顶点式表示出二次函数的顶点坐标,再利用图象与x轴有且只有一个公共点,则顶点的纵坐标为0,故函数图象的顶点坐标为(-1,0),

    (2)将n,n+2代入二次函数解析式即可得出n的取值范围.

    (1)y=x2+2x+m=(x+1)2+m-1,对称轴为x=-1,

    ∵与x轴有且只有一个公共点,∴顶点的纵坐标为0.

    ∴函数图象的顶点坐标为(-1,0),

    或:∵与x轴有且只有一个公共点,∴22-4m=0,

    ∴m=1,

    ∴函数y=x2+2x+1=(x+1)2

    ∴函数图象的顶点坐标是(-1,0);

    (2)∵P(n,y1),Q(n+2,y2)是该二次函数的图象上的两点,且y1>y2

    n2+2n+1>(n+2)2+2(n+2)+1,

    化简整理得,4n+8<0,

    ∴n<-2,

    ∴实数n的取值范围是n<-2.

    点评:

    本题考点: 抛物线与x轴的交点;二次函数的性质;二次函数图象上点的坐标特征.

    考点点评: 本题考查了抛物线和x轴的交点问题以及不等式解法,二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特点,二次函数y=ax2+bx+c顶点坐标为(-[b/2a],4ac−b24a),对称轴x=-[b/2a].