Question

已知f(x)=x+ax2+bx+1是奇函数，且x∈[-1，1]，试判断其单调性，并证明你的结论．

Answer 1

解题思路：先根据函数的奇偶性求出a，b，得到解析式，再利用函数单调性的定义判断并证明函数的单调性．

因为函数f(x)=

x+a

x2+bx+1是奇函数，且定义域为[-1，1]，

所以

f(0)=a=0

f(-1)=

-1

2-b=-f(1)=-

1

2+b，解得

a=0

b=0，

所以f(x)=

x

x2+1，

f（x）在x∈[-1，1]上是增函数，下面证明：

设x₁，x₂是定义域内的任意两实数，且x₁＜x₂，

所以f(x1)-f(x2)=

x1

x12+1-

x2

x22+1=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)，

因为-1≤x₁＜x₂≤1，所以x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0，x12+1＞0，x22+1＞0，

所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），

所以函数f（x）在[-1，1]上是增函数．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数的性质，先利用奇偶性求出解析式再判断单调性．